数学分析复习（已完结，最后更新2/24）

Chapter 16.1:度量空间与连续函数

内积空间：，满足对称性，双线性性与正定性.

赋范空间：，满足正定性，齐性和三角不等式.

定义内积诱导的范数.有极化恒等式.

定义范数诱导的度量，满足正定性，对称性和三角不等式.

完备度量空间：每个柯西列都收敛.

上的范数:.

连续函数的范数：对于，.

矩阵范数：对于，.

命题：.

常见的完备度量空间：.

注意：有限维赋范线性空间都是完备的，赋范线性空间里，完备等价于闭。

Chapter 16.2:度量空间的拓扑

紧致：度量空间的子集是紧致的，是指的任一点列的所有极限点均属于.

结论：

1. 非空开集是开球的并集，反之也成立.
2. 是度量空间的一个度量子空间.子集是的开集存在的开集使得.若是的开集，那么子集是的开集是的开集.
3. 度量空间的一个子集是闭集当且仅当它的余集是开集.
4. 完备度量空间的一个子集是完备的当且仅当它是的闭子集.
5. 紧致性完备性.反之不一定成立，如.
6. 紧致性每一个开覆盖有有限子覆盖有界闭.
7. 任意紧致度量空间存在至多可数稠密子集.

Chapter 16.3:度量空间上的连续函数

定义（连续函数） 以下是连续的三个等价形式：

1. ,对任意，存在，当时，.
2. 对中任意收敛点列 ,中点列收敛.
3. 中任意开子集的原像是的开子集.

压缩映射：是压缩映射，指存在常数使得.

若是压缩映射，则存在唯一的满足.

定义（一致连续） 是一致连续的，是指对任意，存在，对任意，当时，.

定义（连通）：度量空间连通是指，不存在两个不交的非空开集和满足.

定义（弧连通）：度量空间弧连通是指，存在连接其中任意两点的曲线.即，存在连续映射（曲线）.

定理：

1. 定义在紧度量空间上的连续函数一致连续.（证明：Heine-Borel性质，在每个小开球里面误差小于，这样的开球形成的开覆盖是有限的）
2. 紧致集合在连续函数下的像是紧致集合.（考察点列）
3. 的子集连通当且仅当它是一个区间.
4. 是连续满射，连通（弧连通）连通（弧连通）.
5. 弧连通空间是连通空间.
6. 是的开子集，若它是连通集合，则它是弧连通集合.
7. 是的非空开集，，则为闭集.（考察上的点列，可以证明点列的极限也属于）

Chapter 17:映射的微分

Chapter 18:积分

MAB3Ch17.pdf

线性代数复习（已完结，最后更新2/23）

Chapter 6：线性变换

定理 线性变换可对角化存在的一组特征向量构成的一组基.

定理 复方阵可对角化的最小多项式没有重根.

主要思路，首先是由各个特征子空间的和是直和，构造多项式，之间是互素的，因此可以写出裴蜀定理，在裴蜀等式中代入线性变换同时作用于，然后说明.

定理 矩阵，为任意正整数，有：

思路：取子空间.定义线性映射，.而的核空间维数分别为不等式的左边和右边，而即得证.

定理 复数域上的任何阶方阵相似于上三角形矩阵，且的对角元为的全体特征值.

定理 任意矩阵的特征多项式都是的零化多项式.

思路均为归纳法.

定理（牛顿公式） 对和整数，其中，是中取个相乘后累加，.

Chapter 7：标准形

定理（根子空间分解） 设维复线性空间的线性变换的个不同特征值为，特征多项式为.则属于特征值的全体根向量和共同组成，且维数为，称为属于特征值的根子空间，记为.且有关系.

思路：设，令作用于上得到.再由互素，利用裴蜀定理代入即可.

此外，设为属于特征值的次根向量，那么线性无关，并且构成的一组基.

定义（循环子空间） 是数域上的线性空间上的线性变换，且.则中包含的全体不变子空间的交仍然是包含的 不变子空间，因此是包含的最小 不变子空间.由中一个向量生成的不变子空间称为循环子空间，，且为的一组基，其中是相对于的最小多项式的次数.

在下的矩阵是：

且有.
特征多项式等于最小多项式，这是这类矩阵的特征.

定理（多项式矩阵相关）

1. 复数域上的矩阵与相抵具有相同的秩和初等因子组.
2. 是对角元不全为零的对角阵，则的初等因子组是的初等因子组共同组成的集合.
3. ，在上相似特征方阵与在上相抵.
4. 是上的循环变换在任意一组基下的矩阵为单纯方阵（特征多项式等于最小多项式的方阵）.
5. ，是数域且，那么在上相似在上相似.

Chapter 8：二次型

定理

1. 是数域上的阶对称方阵，则 上存在阶可逆方阵使得是对角矩阵.
2. 实对称方阵正定存在阶实可逆方阵使得.
3. 与正定（或半正定）实矩阵相合的矩阵仍然正定（或半正定）.

定理（不等式）

是阶实可逆方阵，有：

等号成立的充要条件是的列向量两两正交.

Chapter 9：内积

定义（有限维实线性空间的内积） 任取的一组基，任取阶实对称方阵，，在下的坐标为，则定义.

定理（柯西不等式） .

定理（三角不等式） 为欧式空间，，有.

定理 同一个内积在两组基下的度量矩阵相合，即：，为到的过渡矩阵.

定理 任意实方阵都可以正交相似为准上三角阵，对角元为所有实特征值和成对复特征值构成的正交方阵.

例子 可以相似成正交方阵可以相似成正交方阵．

右推左，

推论 对任意实对称方阵，存在可逆上三角矩阵，使得.

思路：将原来的基做正交化，即正交矩阵.

定理（QR分解） 是阶实可逆方阵，则存在正交矩阵和对角元都大于零的上三角矩阵，使得.

欧式空间的内积 满足双线性，对称性和正定性.

酉空间的内积 满足共轭双线性，共轭对称性和正定性.

定理

1. 类似于欧式空间，对任意共轭对称方阵，存在可逆上三角矩阵，使得.
2. 类似于欧式空间，酉空间两组标准正交基之间的过渡矩阵满足.这种称为酉方阵.
3. 任一复方阵酉相似于上三角形矩阵.
4. 与规范方阵酉相似的方阵仍然是规范方阵.
5. 复方阵是规范方阵酉相似于对角矩阵.
6. 酉方阵的逆，乘积和与其酉相似的方阵仍是酉方阵.
7. 与Hermite方阵酉相似、共轭相合的矩阵仍为Hermite方阵.
8. 是酉方阵酉相似于，且.
9. 是Hermite方阵酉相似于，且.正定的全部特征值为正实数.
10. 酉方阵、Hermite方阵和复规范方阵属于不同特征值的特征向量互相正交.

定理（不等式） 是阶复方阵，有，等号成立当且仅当是规范方阵.

思路：将酉相似于上三角阵.

定理（奇异值分解） 是阶复矩阵，存在阶酉方阵和阶酉方阵使得，其中为的全部非零特征值的算术平方根.

定理（矩阵的极分解） 是阶复方阵，可以分解为半正定Hermite方阵 和一个酉方阵 的乘积，且由唯一确定.

其他结论（期中考试以前）

证明利用初等变换即可。

2021数院概率论期末考试（选）

给出几道有价值的题目和我的做法。

3.设是独立均匀地取自维超立方体上的两点，表示两点的欧氏距离.证明

证 令是第个维度坐标差，其密度函数容易求出为我们有，立即求得的密度函数的均值为.这里令，那么.

remark 对于有二阶导数的函数，具有有限均值和有限方差，则将在处展开，利用前三项并且忽略余项，得到.

在这里，取，.这里为一有限常数，与的方差有关.得证.

6.对某概率空间上的随机变量，.若且与独立，证明：

证 记分别为的分布函数，事件.由于，对于给定的，存在整数，使得时就有.

计算.在足够大时，显然可以做到，那么必然有，由引理，，这表明使得的仅存有限个，而又有，再由的任意性，推得对于给定的，，即.

概率论：极限定理与数字特征（已完结,最后一次更新2/12）

Review：数字特征与特征函数

部分笔记：Prob.pdf

引理 设随机变量，则有，等号成立当且仅当存在.

引理 对一切和非负整数，都有：

定义（弱大数定律）

为独立的随机变量序列，，如果存在常数序列使得，那么说序列服从弱大数定律.

定义（中心极限定理）

记，若成立，则称序列服从中心极限定理.

马尔可夫不等式

设为取非负值的随机变量，则对于任何常数，有： .

证 取事件的示性变量，则有，两边取期望，得到 从而得证.

切比雪夫不等式

设为随机变量，均值和方差有限，则对任何，有： .

证 .上述证明用到了马尔可夫不等式.

推广：我们有为定义在上的非降的非负值函数，对随机变量，如果有则对于任意使的，都有：

马尔可夫弱大数律

如果满足（此即马尔可夫条件），那么.

证 利用切比雪夫不等式的推广，取，注意这里没有任何独立性假定.事实上，在独立和场合，若独立事件序列满足中心极限定理，那么马尔可夫条件自然成立.

稍弱一点的推论（泊松大数定律）

对于独立试验序列，事件在第次试验中发生的概率为，设为在前次试验中出现的次数，那么.设为第次试验成功的次数，那么满足马尔可夫条件，得证.

辛钦弱大数律

，有.

极限定理

令，为以概率的次伯努利试验成功次数.则.

林德伯格-莱维中心极限定理

，则有：