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2021数院概率论期末考试

2021数院概率论期末考试

2021数院概率论期末考试(选)

给出几道有价值的题目和我的做法。

3.设是独立均匀地取自维超立方体上的两点,表示两点的欧氏距离.证明

是第个维度坐标差,其密度函数容易求出为我们有,立即求得的密度函数的均值为.这里令,那么.

remark 对于有二阶导数的函数具有有限均值和有限方差,则将处展开,利用前三项并且忽略余项,得到.

在这里,取.这里为一有限常数,与的方差有关.得证.

6.对某概率空间上的随机变量.若独立,证明:

分别为的分布函数,事件.由于,对于给定的,存在整数,使得时就有.

计算.在足够大时,显然可以做到,那么必然有,由引理,,这表明使得仅存有限个,而又有,再由的任意性,推得对于给定的,即.

极限定理

极限定理

概率论:极限定理与数字特征(已完结,最后一次更新2/12)

Review:数字特征与特征函数

部分笔记:Prob.pdf

引理 设随机变量,则有,等号成立当且仅当存在.

引理 对一切和非负整数,都有:

定义(弱大数定律)

为独立的随机变量序列,,如果存在常数序列使得,那么说序列服从弱大数定律.

定义(中心极限定理)

,若成立,则称序列服从中心极限定理.

马尔可夫不等式

为取非负值的随机变量,则对于任何常数,有: .

取事件的示性变量,则有,两边取期望,得到 从而得证.

切比雪夫不等式

为随机变量,均值和方差有限,则对任何,有: .

.上述证明用到了马尔可夫不等式.

推广:我们有为定义在上的非降的非负值函数,对随机变量,如果有则对于任意使,都有:

马尔可夫弱大数律

如果满足(此即马尔可夫条件),那么.

利用切比雪夫不等式的推广,取注意这里没有任何独立性假定.事实上,在独立和场合,若独立事件序列满足中心极限定理,那么马尔可夫条件自然成立.

稍弱一点的推论(泊松大数定律)

对于独立试验序列,事件在第次试验中发生的概率为,设在前次试验中出现的次数,那么.设为第次试验成功的次数,那么满足马尔可夫条件,得证.

辛钦弱大数律

,有.

极限定理

为以概率次伯努利试验成功次数.则.

林德伯格-莱维中心极限定理

,则有:

引理

  1. 若随机事件序列满足,那么.
  2. 若随机事件序列相互独立,那么,即.

公式

单调收敛定理

.

引理

,则.

引理

如果,则

第一定理

任意一致有界的非降函数列必有一子序列弱收敛于一非降函数

第二定理

上的连续函数,又上弱收敛于函数的一致有界的非降函数列,且的连续点,则:

定义 (几乎处处收敛)

设随机变量和随机变量序列定义在同一个概率空间上,若,那么说其等价形式为

几乎处处收敛的若干性质

  1. .

控制收敛定理

,若存在随机变量,使得对一切,都有,则.

科尔莫格罗夫强大数定律

引理

为实数列,为单调趋于正无穷的正数列,则:

不等式

,取,如果随机变量则有:

不等式

为定义在上的凸函数,若存在,则有:

条件

随机变量序列具有有限的期望和方差,若对任何,都有: