2021数院概率论期末考试（选）

给出几道有价值的题目和我的做法。

3.设是独立均匀地取自维超立方体上的两点，表示两点的欧氏距离.证明

证 令是第个维度坐标差，其密度函数容易求出为我们有，立即求得的密度函数的均值为.这里令，那么.

remark 对于有二阶导数的函数，具有有限均值和有限方差，则将在处展开，利用前三项并且忽略余项，得到.

在这里，取，.这里为一有限常数，与的方差有关.得证.

6.对某概率空间上的随机变量，.若且与独立，证明：

证 记分别为的分布函数，事件.由于，对于给定的，存在整数，使得时就有.

计算.在足够大时，显然可以做到，那么必然有，由引理，，这表明使得的仅存有限个，而又有，再由的任意性，推得对于给定的，，即.

概率论：极限定理与数字特征（已完结,最后一次更新2/12）

Review：数字特征与特征函数

部分笔记：Prob.pdf

引理 设随机变量，则有，等号成立当且仅当存在.

引理 对一切和非负整数，都有：

定义（弱大数定律）

为独立的随机变量序列，，如果存在常数序列使得，那么说序列服从弱大数定律.

定义（中心极限定理）

记，若成立，则称序列服从中心极限定理.

马尔可夫不等式

设为取非负值的随机变量，则对于任何常数，有： .

证 取事件的示性变量，则有，两边取期望，得到 从而得证.

切比雪夫不等式

设为随机变量，均值和方差有限，则对任何，有： .

证 .上述证明用到了马尔可夫不等式.

推广：我们有为定义在上的非降的非负值函数，对随机变量，如果有则对于任意使的，都有：

马尔可夫弱大数律

如果满足（此即马尔可夫条件），那么.

证 利用切比雪夫不等式的推广，取，注意这里没有任何独立性假定.事实上，在独立和场合，若独立事件序列满足中心极限定理，那么马尔可夫条件自然成立.

稍弱一点的推论（泊松大数定律）

对于独立试验序列，事件在第次试验中发生的概率为，设为在前次试验中出现的次数，那么.设为第次试验成功的次数，那么满足马尔可夫条件，得证.

辛钦弱大数律

，有.

极限定理

令，为以概率的次伯努利试验成功次数.则.

林德伯格-莱维中心极限定理

，则有：

引理

1. 若随机事件序列满足，那么.
2. 若随机事件序列相互独立，那么，即.

公式

单调收敛定理

若则.

引理

设且，则.

引理

如果，则

第一定理

任意一致有界的非降函数列必有一子序列弱收敛于一非降函数

第二定理

设是上的连续函数，又是上弱收敛于函数的一致有界的非降函数列,且为的连续点，则：

定义 (几乎处处收敛)

设随机变量和随机变量序列定义在同一个概率空间上，若，那么说其等价形式为

几乎处处收敛的若干性质

3. .

控制收敛定理

设，若存在随机变量，使得对一切，都有，则.

科尔莫格罗夫强大数定律

则

引理

设为实数列，为单调趋于正无穷的正数列，则：

不等式

设，取，如果随机变量则有：

不等式

设为定义在上的凸函数，若存在，则有：

条件

随机变量序列具有有限的期望和方差，若对任何，都有： 则称该随机变量序列满足条件.如果条件对成立，那么成立中心极限定理.

定理

为随机变量序列，若存在使得 则有下式成立：