2021数院概率论期末考试（选）

给出几道有价值的题目和我的做法。

3.设是独立均匀地取自维超立方体上的两点，表示两点的欧氏距离.证明

证 令是第个维度坐标差，其密度函数容易求出为我们有，立即求得的密度函数的均值为.这里令，那么.

remark 对于有二阶导数的函数，具有有限均值和有限方差，则将在处展开，利用前三项并且忽略余项，得到.

在这里，取，.这里为一有限常数，与的方差有关.得证.

6.对某概率空间上的随机变量，.若且与独立，证明：

证 记分别为的分布函数，事件.由于，对于给定的，存在整数，使得时就有.

计算.在足够大时，显然可以做到，那么必然有，由引理，，这表明使得的仅存有限个，而又有，再由的任意性，推得对于给定的，，即.