数学分析复习（已完结，最后更新2/24）

Chapter 16.1:度量空间与连续函数

内积空间：，满足对称性，双线性性与正定性.

赋范空间：，满足正定性，齐性和三角不等式.

定义内积诱导的范数.有极化恒等式.

定义范数诱导的度量，满足正定性，对称性和三角不等式.

完备度量空间：每个柯西列都收敛.

上的范数:.

连续函数的范数：对于，.

矩阵范数：对于，.

命题：.

常见的完备度量空间：.

注意：有限维赋范线性空间都是完备的，赋范线性空间里，完备等价于闭。

Chapter 16.2:度量空间的拓扑

紧致：度量空间的子集是紧致的，是指的任一点列的所有极限点均属于.

结论：

1. 非空开集是开球的并集，反之也成立.
2. 是度量空间的一个度量子空间.子集是的开集存在的开集使得.若是的开集，那么子集是的开集是的开集.
3. 度量空间的一个子集是闭集当且仅当它的余集是开集.
4. 完备度量空间的一个子集是完备的当且仅当它是的闭子集.
5. 紧致性完备性.反之不一定成立，如.
6. 紧致性每一个开覆盖有有限子覆盖有界闭.
7. 任意紧致度量空间存在至多可数稠密子集.

Chapter 16.3:度量空间上的连续函数

定义（连续函数） 以下是连续的三个等价形式：

1. ,对任意，存在，当时，.
2. 对中任意收敛点列 ,中点列收敛.
3. 中任意开子集的原像是的开子集.

压缩映射：是压缩映射，指存在常数使得.

若是压缩映射，则存在唯一的满足.

定义（一致连续） 是一致连续的，是指对任意，存在，对任意，当时，.

定义（连通）：度量空间连通是指，不存在两个不交的非空开集和满足.

定义（弧连通）：度量空间弧连通是指，存在连接其中任意两点的曲线.即，存在连续映射（曲线）.

定理：

1. 定义在紧度量空间上的连续函数一致连续.（证明：Heine-Borel性质，在每个小开球里面误差小于，这样的开球形成的开覆盖是有限的）
2. 紧致集合在连续函数下的像是紧致集合.（考察点列）
3. 的子集连通当且仅当它是一个区间.
4. 是连续满射，连通（弧连通）连通（弧连通）.
5. 弧连通空间是连通空间.
6. 是的开子集，若它是连通集合，则它是弧连通集合.
7. 是的非空开集，，则为闭集.（考察上的点列，可以证明点列的极限也属于）

Chapter 17:映射的微分

Chapter 18:积分

MAB3Ch17.pdf