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本博客现在在主页展示的主要是学习相关内容，吹水的，或者一些日寄之类的琐碎文章放在了本站隐藏专栏里面。

（2023/4/30）

长时间停更了，身上的事情有些琐碎。以后有望在这里开设泛函分析的专栏。哈哈，加油！

（2023/9/20）

恢复更新！

（2023/11）

Functional Analysis

占坑，泛函分析复习笔记，内容大概有：

• 到2.2章节除了1.5章所有作业题解答以及部分未布置的题；

  • faMidNotes.pdf 部分笔记，剩余习题有的不在范围内，选择性重做一遍。

• 部分定理手动证明；

• 往届期中真题自己的解答；（不正式写了）

Ciarlet 相关有趣的内容整理（期中前）

易混淆的点：

• 是指的所有线性包（即 有限 线性组合）的并；

• 基要满足两点：

  • 向量族的元线性无关，即对于任意有限子集各元素线性无关；

  • 对于任何 ，都存在有限子族 ，被子族里面的向量线性表示。

  • 注意：任意向量空间均存在基（引理），且基的基数唯一确定。

补充例子与结论

强调（1.3里面常用结论）

• 中任意有界集为列紧集；

• 列紧空间的任意（闭）子集都是（自）列紧集；

• 列紧空间必是完备空间；

• 完全有界的度量空间可分。

定理 任何有限维空间均是可分的。

要证明这个定理，首先有：有限维空间的范数相互等价，于是换一个范数证明可分。

设为的一组基，对于扩充的实数，定义映射：

则有为上的范数，且空间是可分的，取坐标为有理数的点即可。

定理 设为可分的空间，则存在的有限维子空间的可数有限族满足：

证明 由稠密性，设，满足

首先可以假设对任何。此时递推地定义向量族为：

那么，满足所有条件。

定理 任意向量空间均可赋范。

证明 取的基，对任意给定向量，唯一地存在有限子族，被子族里面的向量线性表示。
此即 ，那么下面映射就是上的一个范数:

定理 赋范空间，可有内积给出满足平行四边形法则。并且满足平行四边形法则时，是内积。

定理 是可分的。时不可分。

证明 不妨证的情况，时构造稠密子集如下：
$$
A:=\bigcup\limits_{n=1}^\infty{(y_i){i=1}^\infty\in\mathcal{l}^p;y_i\in\mathbb{Q}\ when \ i\leq n,y_i=0\ elsewhere}.
$$
时，考虑为中所有以组成的数列集合，则$\forall x,y\in B,\Vert x-y\Vert\infty=1BC\mathcal{l}^\inftyx\in By(x)\in C \ s.t.\Vert x-y(x)\Vert_\infty<\frac{1}{2}x\to y(x)C\mathcal{l}^\infty$不可分。

定理 为中的开子集，上紧支集连续函数在中稠密。是可分空间，时不可分。

在中稠密，时不稠密。

强调（有限维的情况）

• 任意两个范数等价；

• 任何有限维赋范空间可分；

• 对于有限维赋范空间中的子集，紧等价于有界闭；

• 空间的有限维子空间在中闭；

• 空间是有限维的等价于的单位球面列紧。

证明第三条：对于，由于紧蕴含有界闭只需反过来证明自列紧。取的基，有界推得各个系数有界，故找到了收敛的子列，这证明了自列紧。

定理 为任意向量空间，则在上存在不等价的范数。

证明 取的基​，那么下面映射就是上的范数:

这时取一个中的可数子族，不妨设为，令，得到。

定理 为赋范空间且 是有限维的，则由 到 的任何线性算子均是连续的。

证明 选取基展开，证明。

定理（投影映射相关）

是内积空间中的非空闭凸子集。为投影映射，代表的是关于的最佳逼近元。

• 为连续映射，常数为1。

• 为线性的充要条件是是的子空间，此时的算子范数为1。

定理（正交补相关）

是内积空间中的非空子集。

• 是的闭子空间；

• ；

• 如果是闭的，。

定理（空间中的表示定理）

为上的空间，对任意给定的，存在唯一的向量，使得而且。

例子（空间中不是闭的子空间）

在希尔伯特空间中构造一个不是闭集的子空间的经典例子是考虑无限维空间中的有限维子空间。

以序列空间 为例，这是所有平方可和的复数序列构成的空间。一个元素 满足 。在这个空间中，我们可以考虑子空间 由所有最终变为零的序列构成，也就是说，对于 中的每个序列 ，存在一个整数 使得所有 的 。

尽管 是 的一个线性子空间，它不是闭的。这是因为可以构造一个序列的序列（也就是一个序列的极限），这个极限在 中，但不在 中。例如，考虑序列 其中 是一个序列，它的前 个元素是 ，之后的元素都是零。每个 都在 中，但它们的极限是序列 ，这个极限在 中但不在 中，因为没有一个点使得序列之后的所有元素都是零。

因此， 是 中的一个不闭子空间的例子。

Ciarlet 相关有趣的内容整理（期中后）

未完待续…

实分析补充练习与补充知识点

6.30

设定义在上的函数满足。若且，证明。

不妨设为有界集，因为对每个，可令，这样就有，再由即得结论。

对于有界零测集，设。任给，存在开集，且。对使用开集结构定理，任意构成区间满足，故，这便证明了。

设是上的连续函数，是上的实值可测函数，则是上的可测函数。

上可测函数列满足，且依测度收敛到0，证明。

是上的正值可积函数，是一列可测子集，且有，证明。

设存在一列，那么足够大时。选取的子列使得在第项上的积分值小于。简便起见，这个子列仍记为。定义，作为Fatou-Lebesgue定理的直接推论，其测度。我们有：

这推出在上几乎处处为零，与题设矛盾。

7.1

补充上面的定理证明：

补充1 Fatou-Lebesgue定理

对于给定的度量空间 ，假设是一系列定义在其上的实值可测函数。如果存在一个勒贝格可积函数在上以绝对值控制该序列，即对于所有自然数，都满足，那么：

证明：所有的 以及 的下限和上限序列在绝对值上被 控制，因此它们是可测的，并且是可积的。第一个不等式是通过将非负函数 应用于Fatou引理，并利用Lebesgue积分的线性性得到的。最后一个不等式是反向Fatou引理。这里的Fatou引理比我们学的要强一些（周民强4.2例题4），我们学的是非负函数列+几乎处处收敛，这里的条件是，其形式是：

总的来说，就是Fatou引理加上的控制，就能得到Fatou-Lebesgue定理！

补充2 各种收敛性

考试可能涉及到各种收敛性，这里做出一定总结：

• 几乎处处收敛

引理1 若，那么对任意，有

证明：的上极限集合必然不是收敛点，那么，再由递降集合测度的极限性质，得到：

Egorov定理 为几乎处处有限，定义在有限测度集合上的可测函数列。若，则对，存在，使得在上一致收敛于。

证明我看过一遍了，要用到上面的引理。取定之后，先把分解为，每一个对应使得

从而构造

进一步说明在上一致收敛于。

注意

1. 条件不可去掉，否则考虑上的特征函数。
2. 在下，近一致收敛于几乎处处收敛等价，二者都能推出依测度收敛。

• 依概率收敛

定理 为几乎处处有限，定义在有限测度集合上的可测函数列。若，且几乎处处有限，则依测度收敛于。

由上述引理1立即得证。

Riesz定理 依测度收敛序列存在几乎处处收敛子列。

补充3 Lusin定理

Lusin定理描述了可测函数和连续函数的关系。其叙述如下：

是定义在的几乎处处有限可测函数，任给，存在闭集使得是上的连续函数。

首先我们需要知道，对于可测函数，存在简单紧支函数列使得并且逐点收敛。特别地若有界，该收敛是一致的。利用这一点重要性质，从简单函数出发可得Lusin定理。Lusin定理有若干推论：

推论1 是定义在的几乎处处有限可测函数，任给，存在上的连续函数满足：

若，上述的可取为紧支的。

推论2 是定义在的几乎处处有限可测函数，则存在上的连续函数列满足：

7.2

设，证明。

证明：等价于证明级数在上几乎处处收敛即可。我们用积分说明该级数在上几乎有限：

第一步是因为为非负可测函数列，可以逐项积分。上面的式子说明在上几乎处处有限，故在时上几乎处处收敛于0。

补充4 基本换元

对，，有：

证明思路：先证明对简单函数成立，再用简单函数逼近可测函数。

补充5 控制收敛定理相关

首先，DCT证明了更强的收敛。简单的记忆就是：控制函数+几乎处处收敛，极限符号可以挪到里面去。DCT有一些应用，为了强化理解，下面列举并证明两个有用的推论：

推论1（逐项积分）

不同于非负可测函数列的逐项积分定理，这里的表述是：

设，若有，那么函数项级数在上几乎处处收敛，且且

证明：为非负可测函数列，故可以逐项积分。即：

从而且几乎处处有限。命，则。而在上几乎处处有即被可积函数控制。由DCT立得：

推论2（积分号下求导）

是定义在上的函数，作为的函数在上可积，作为的函数在上可微。若存在使得：

那么有如下成立：

证明：当足够小的时候，由微分中值定理有：

再利用DCT，得到：

补充6 可积函数与连续函数的关系

• 上的可积函数可以被紧支连续函数逼近。任给，存在紧支连续函数和函数满足且。换言之，存在上的紧支连续函数列地并且几乎处处收敛于。

• 平均连续性：。

• 上的可积函数可以被紧支阶梯函数逼近，即存在上的紧支阶梯函数列地并且几乎处处收敛于。

补充7 重积分与累次积分

Fubini定理和Tonelli定理部分在周民强上已经过了一遍了，就不在这里写了

7.3

补充8 不定积分的微分

引理2 设，令，（当时），那么有：

证明思路：表达式写开，用Tonelli定理再加上平均连续性即得。

Lebesgue微分定理（一维版本） 设，令，则。

证明：

step1，几乎处处可微，这是因为为两个单增函数的差，故几乎处处可微。

step2，因为几乎处处可微，对于，可假设其几乎处处收敛到上的可测函数上，又由引理2，在意义下收敛于，故只需要证明。