Functional Analysis

占坑，泛函分析复习笔记，内容大概有：

到2.2章节除了1.5章所有作业题解答以及部分未布置的题；
- faMidNotes.pdf 部分笔记，剩余习题有的不在范围内，选择性重做一遍。
部分定理手动证明；
往届期中真题自己的解答；（不正式写了）

Ciarlet 相关有趣的内容整理（期中前）

易混淆的点：

是指的所有线性包（即有限线性组合）的并；
基要满足两点：
- 向量族的元线性无关，即对于任意有限子集各元素线性无关；
- 对于任何，都存在有限子族，被子族里面的向量线性表示。
- 注意：任意向量空间均存在基（引理），且基的基数唯一确定。

补充例子与结论

强调（1.3里面常用结论）

中任意有界集为列紧集；

列紧空间的任意（闭）子集都是（自）列紧集；

列紧空间必是完备空间；

完全有界的度量空间可分。

定理任何有限维空间均是可分的。

要证明这个定理，首先有：有限维空间的范数相互等价，于是换一个范数证明可分。

设为的一组基，对于扩充的实数，定义映射：

则有为上的范数，且空间是可分的，取坐标为有理数的点即可。

定理设为可分的空间，则存在的有限维子空间的可数有限族满足：

证明由稠密性，设，满足

首先可以假设对任何。此时递推地定义向量族为：

那么，满足所有条件。

定理任意向量空间均可赋范。

证明取的基，对任意给定向量，唯一地存在有限子族，被子族里面的向量线性表示。此即，那么下面映射就是上的一个范数:

定理赋范空间，可有内积给出满足平行四边形法则。并且满足平行四边形法则时，是内积。

定理是可分的。时不可分。

证明不妨证的情况，时构造稠密子集如下：时，考虑为中所有以组成的数列集合，则，且是不可列的。设是中任意稠密子集，任给，存在，故映射为单射，不可列，从而不可分。

定理为中的开子集，上紧支集连续函数在中稠密。是可分空间，时不可分。

在中稠密，时不稠密。

强调（有限维的情况）

任意两个范数等价；

任何有限维赋范空间可分；

对于有限维赋范空间中的子集，紧等价于有界闭；

空间的有限维子空间在中闭；

空间是有限维的等价于的单位球面列紧。

证明第三条：对于，由于紧蕴含有界闭只需反过来证明自列紧。取的基，有界推得各个系数有界，故找到了收敛的子列，这证明了自列紧。

定理为任意向量空间，则在上存在不等价的范数。

证明取的基，那么下面映射就是上的范数:

这时取一个中的可数子族，不妨设为，令，得到。

定理为赋范空间且是有限维的，则由到的任何线性算子均是连续的。

证明选取基展开，证明。

定理（投影映射相关）

是内积空间中的非空闭凸子集。为投影映射，代表的是关于的最佳逼近元。

为连续映射，常数为1。
为线性的充要条件是是的子空间，此时的算子范数为1。

定理（正交补相关）

是内积空间中的非空子集。

是的闭子空间；
；
如果是闭的，。

定理（空间中的表示定理）

为上的空间，对任意给定的，存在唯一的向量，使得而且。

例子（空间中不是闭的子空间）

在希尔伯特空间中构造一个不是闭集的子空间的经典例子是考虑无限维空间中的有限维子空间。

以序列空间为例，这是所有平方可和的复数序列构成的空间。一个元素满足。在这个空间中，我们可以考虑子空间由所有最终变为零的序列构成，也就是说，对于中的每个序列，存在一个整数使得所有的。

尽管是的一个线性子空间，它不是闭的。这是因为可以构造一个序列的序列（也就是一个序列的极限），这个极限在中，但不在中。例如，考虑序列其中是一个序列，它的前个元素是，之后的元素都是零。每个都在中，但它们的极限是序列，这个极限在中但不在中，因为没有一个点使得序列之后的所有元素都是零。

因此，是中的一个不闭子空间的例子。

Ciarlet 相关有趣的内容整理（期中后）

未完待续...