实分析补充练习与补充知识点

6.30

设定义在上的函数满足。若且，证明。

不妨设为有界集，因为对每个，可令，这样就有，再由即得结论。

对于有界零测集，设。任给，存在开集，且。对使用开集结构定理，任意构成区间满足，故，这便证明了。

设是上的连续函数，是上的实值可测函数，则是上的可测函数。

上可测函数列满足，且依测度收敛到0，证明。

是上的正值可积函数，是一列可测子集，且有，证明。

设存在一列，那么足够大时。选取的子列使得在第项上的积分值小于。简便起见，这个子列仍记为。定义，作为Fatou-Lebesgue定理的直接推论，其测度。我们有：

这推出在上几乎处处为零，与题设矛盾。

7.1

补充上面的定理证明：

补充1 Fatou-Lebesgue定理

对于给定的度量空间，假设是一系列定义在其上的实值可测函数。如果存在一个勒贝格可积函数在上以绝对值控制该序列，即对于所有自然数，都满足，那么：

证明：所有的以及的下限和上限序列在绝对值上被控制，因此它们是可测的，并且是可积的。第一个不等式是通过将非负函数应用于Fatou引理，并利用Lebesgue积分的线性性得到的。最后一个不等式是反向Fatou引理。这里的Fatou引理比我们学的要强一些（周民强4.2例题4），我们学的是非负函数列+几乎处处收敛，这里的条件是，其形式是：

总的来说，就是Fatou引理加上的控制，就能得到Fatou-Lebesgue定理！

补充2 各种收敛性

考试可能涉及到各种收敛性，这里做出一定总结：

几乎处处收敛

引理1 若，那么对任意，有

证明：的上极限集合必然不是收敛点，那么，再由递降集合测度的极限性质，得到：

Egorov定理 为几乎处处有限，定义在有限测度集合上的可测函数列。若，则对，存在，使得在上一致收敛于。

证明我看过一遍了，要用到上面的引理。取定之后，先把分解为，每一个对应使得

从而构造

进一步说明在上一致收敛于。

注意

条件不可去掉，否则考虑上的特征函数。
在下，近一致收敛于几乎处处收敛等价，二者都能推出依测度收敛。

依概率收敛

定理为几乎处处有限，定义在有限测度集合上的可测函数列。若，且几乎处处有限，则依测度收敛于。

由上述引理1立即得证。

Riesz定理 依测度收敛序列存在几乎处处收敛子列。

补充3 Lusin定理

Lusin定理描述了可测函数和连续函数的关系。其叙述如下：

是定义在的几乎处处有限可测函数，任给，存在闭集使得是上的连续函数。

首先我们需要知道，对于可测函数，存在简单紧支函数列使得并且逐点收敛。特别地若有界，该收敛是一致的。利用这一点重要性质，从简单函数出发可得Lusin定理。Lusin定理有若干推论：

推论1 是定义在的几乎处处有限可测函数，任给，存在上的连续函数满足：

若，上述的可取为紧支的。

推论2 是定义在的几乎处处有限可测函数，则存在上的连续函数列满足：

7.2

设，证明。

证明：等价于证明级数在上几乎处处收敛即可。我们用积分说明该级数在上几乎有限：

第一步是因为为非负可测函数列，可以逐项积分。上面的式子说明在上几乎处处有限，故在时上几乎处处收敛于0。

补充4 基本换元

对，，有：

证明思路：先证明对简单函数成立，再用简单函数逼近可测函数。

补充5 控制收敛定理相关

首先，DCT证明了更强的收敛。简单的记忆就是：控制函数+几乎处处收敛，极限符号可以挪到里面去。DCT有一些应用，为了强化理解，下面列举并证明两个有用的推论：

推论1（逐项积分）

不同于非负可测函数列的逐项积分定理，这里的表述是：

设，若有，那么函数项级数在上几乎处处收敛，且且

证明：为非负可测函数列，故可以逐项积分。即：

从而且几乎处处有限。命，则。而在上几乎处处有即被可积函数控制。由DCT立得：

推论2（积分号下求导）

是定义在上的函数，作为的函数在上可积，作为的函数在上可微。若存在使得：

那么有如下成立：

证明：当足够小的时候，由微分中值定理有：

再利用DCT，得到：

补充6 可积函数与连续函数的关系

上的可积函数可以被紧支连续函数逼近。任给，存在紧支连续函数和函数满足且。换言之，存在上的紧支连续函数列地并且几乎处处收敛于。
平均连续性：。
上的可积函数可以被紧支阶梯函数逼近，即存在上的紧支阶梯函数列地并且几乎处处收敛于。

补充7 重积分与累次积分

Fubini定理和Tonelli定理部分在周民强上已经过了一遍了，就不在这里写了

7.3

补充8 不定积分的微分

引理2 设，令，（当时），那么有：

证明思路：表达式写开，用Tonelli定理再加上平均连续性即得。

Lebesgue微分定理（一维版本） 设，令，则。

证明：

step1，几乎处处可微，这是因为为两个单增函数的差，故几乎处处可微。

step2，因为几乎处处可微，对于，可假设其几乎处处收敛到上的可测函数上，又由引理2，在意义下收敛于，故只需要证明。

step3，证明（不等式即Fatou引理）：

定理对于也是成立的，将定理应用在上的可测集上立刻得到上几乎处处的点都是Lebesgue密度点。下面证明一个有用的推论：

推论若在上局部可积，则几乎每个点属于的Lebesgue集。

证明：将Lebesgue微分定理应用于函数，则对于每个有理数，存在测度为零的集合，只要就有：

记，则，且对所有，存在使得。我们有：

补充9 绝对连续函数

，，则，且。

定义对于定义在上的实值函数，若对任意，存在使得只要且区间内部不交就有

则称绝对连续(AC)。绝对连续函数具有以下性质：

AC函数是一致连续且有界变差的；
如果，在上几乎处处可微，并且是上的可积函数。
微积分基本定理成立；
如果，那么对于任意中的零测集，；
如果，为中的可测集，那么可测；
若满足以下条件，。
- 如果，则；
- ；
- 。

绝对连续函数有着强于有界变差函数的结论：

定理如果，则几乎处处存在。此外，若几乎处处为零，则为常数。

暂时更新到这里，剩下的时间要回顾stein上的习题，再就泡在周民强里面了。晚上争取把chap2的习题全都过一遍。

实分析练习题