考虑下面的问题：
给定区间上的一个具有正测度的类集合，的补集记为。对于上的特征函数，考虑在上点处的导数，这是否为0？
这一点由于微分定理是显然的，因为测度为正，故在上地有。但是换一个角度来看，这一点或许还没有那么直观。
选定一个，考察小区间，这个区间内部取0或1，如果，那么随着，中取1的部分的（测度）占比趋于零。而在缩小的取值之时，无论怎么缩小，中总是会包含无数个取值为1的闭区间，又怎么证明这些闭区间的测度之和与的比值趋于0呢？这是一个很复杂的问题，因为在附近的行为很怪异。加上类集合的选取本身就多种多样，如果没有微分定理，单纯用极限理论来看待处的微分的话，确实复杂。这也让我体会到了微分定理的深刻性，对于这样棘手的问题会有如此优雅的结论。当时我转念一想，对于集和，在处均不可微，而零测，从而在仍是地为0的，导不出矛盾。这就引发了我对微分定理深究的兴趣，藉此机会我们从可积函数出发，梳理一下勒贝格积分与微分理论。
积分理论
引理 对于支撑在有限测度集合上的有界函数（BF），为任何以为界的简单函数序列，且对有，那么有
- 存在；
- 若 ，那么。
这样，定义BF函数的积分为。
而对于非负函数，去掉BF的条件后，其积分定义为，其中。
对于一般的函数，其积分定义为。当是我们说可积。
定理（有界收敛定理） 为一串以为界，支撑在有限测度集合的可测函数序列，且，则可测、有界、支撑在上，且 总结来说就是有界BF函数+几乎处处收敛推得可积+积分值收敛。
定理（法图引理） 为一串非负的可测函数，且，则 这是一个很反直觉的结果，这个结论的证明也相当巧妙。简言之就是选取了，而构造了，这样不仅有，还始终有，这样就得证了。直觉似乎告诉我们几乎处处收敛于，积分也会足够靠近，然而我们最终得到的却是这样一个不等式。trick或许在于的定义。如果是BF函数一切等号都能取到，然而不是BF函数的时候，根据上面的定义才诞生了这个不等式。
推论 是一个非负可测函数，为一串满足的函数列，且，则 相应地单调收敛定理是更弱的推论。一个有用的推论是，无穷非负可测函数项级数的积分可以逐项积分。
可积函数的重要性质
- 对，存在有限测度集使得
- （绝对连续性）存在使得只要，就有
第一个结论，令，其中是以原点位中心半径为的球。由单调收敛定理即证。第二个结论，我们思路差不多，但是构造的是截断函数，由单调收敛定理仍有。后面将写为，前者由收敛性控制，后者由截断函数的上界控制。
控制收敛定理 为可测函数序列，且，，其中可积，那么
微分理论
为了证明勒贝格微分定理，我们先引入哈代-李特尔伍德极大函数。
定义（哈代-李特尔伍德极大函数） 对于上的可积函数，定义其极大函数： 极大函数具有以下性质：
可测；
几乎处处有限；
（弱型不等式）对所有，满足：
此外还有性质如：
- 对有。
- 若对于上的可积函数，不几乎处处为0，那么对某个和所有，有，从而有不可积。
(3)的形式比切比雪夫不等式弱。切比雪夫不等式说的是，对于非负可测函数： 这个不等式放缩其实很松。将挪过去，等号左边代表的是高为，宽为大于的部分，这一部分面积显然被包围。(1)很好证明，只需注意到集合是开集；而(2)是(3)的直接推论，下面着手证明(3)。在证明之前还需要证明重要的：
覆盖引理 设是中的有限开球簇，则存在的不相交子集使得
定理的证明是构造性的。我们先选出最大的球，将半径扩大为原有3倍之后变为，所有的与相交的球都会被完全涵盖在之内。去掉这些被完全包含的球，重复这种操作即构造成立。下面证明弱型不等式。
(3)的证明：
要证明。对于每一个$x E_B_x_{B_x}|f(y)|y>$，此即
取定的一个紧子集，选取的有限子覆盖$={B_1,,B_n} B_{i_1},,B_{i_k}$。则有如下不等式成立：
命题得到了证明。下面着手证明勒贝格微分定理。
微分定理 若在上可积，那么对有： 仅需证明对每个，集合 测度为0。由于紧支撑连续函数在中稠密，对于任何，存在紧支撑连续函数使得。对与连续函数，式显然成立。我们可以将写为： 两边同时取上极限并且利用三角不等式得到： 再定义： 则由切比雪夫不等式和弱型估计得到： 显然有包含关系，选取与足够靠近的即证。
remark：对于局部可积函数，上述结论仍然成立。
其他定义及结论：
定义（勒贝格密度点） 是可测集，，定义为的勒贝格密度点，若： 则几乎每个是的勒贝格密度点；几乎每个不是的勒贝格密度点。
定义（勒贝格集） 在上局部可积，则的勒贝格集由所有满足： 的组成。并且的连续点属于勒贝格集。并且有定理：若在上局部可积，则几乎每个点属于勒贝格集。
实分析chap2,3其他结论
可积函数空间
定理 向量空间在它的度量下是完备的。
推论 柯西列存在几乎处处收敛子列。
定理 以下函数簇在中稠密：
- 简单函数（有限测度可测集的特征函数的有限线性组合）
- 阶梯函数（cube的特征函数的有限线性组合）
- 紧支撑连续函数
平移不变性 为可积函数，定义。则 这是紧支撑连续函数在中稠密的推论。
定理
假定在上可积，则：
- 截面在上可积；
- 在上可积；
此外，还满足等式： 作为一个应用，有如下的结论：
定理 假定在上非负可测，则对，有：
- 截面在上可测；
- 在上可测；
- 在扩充的意义下，满足等式：
上的可测子集，将定理应用到上，得到如下的：
推论 对，是上的可测子集，且：
关于集合的可测性的若干命题
- 为上的可测子集，且，则可测。
- 若，，则。
- 若，均为可测集，那么。
引理1 是上的可测函数，那么定义在上可测。
引理2 是上的非负函数，且令，则：
定理 是上的可测函数，则在上可测。
有界变差函数
- 单调有界函数、处处可微且导数有界的函数均为有界变差函数。
- 上的实值函数是有界变差的当且仅当是两个有界的递增函数之差。
- 若函数在上是有界变差的，则几乎处处可微。
引理 若递增且连续，则几乎处处存在，进而可测、非负，且。
李特尔伍德三大原理
第三原理：每个收敛序列接近于一直收敛序列。
定理（） 是定义在有限测度集合上的可测函数序列并且在上几乎处处收敛于。给定，能找到对应的闭集，使得且在上一致收敛于。
第二原理：每个可测函数接近于连续函数。
定理（） 在有限测度集合上可测且取有限值。给定，能找到对应的闭集，使得且在上连续。
绝对连续函数
定义 对于定义在上的实值函数，若对任意，存在使得只要且区间内部不交就有 则称绝对连续(AC)。绝对连续函数具有以下性质：
- AC函数是一致连续且有界变差的；
- 若可积，，则绝对连续，这是积分的绝对连续性保证的。
- 如果，那么对于任意中的零测集，；
- 如果，为中的可测集，那么可测；
- 若满足以下条件，。
绝对连续函数有着强于有界变差函数的结论：
定理 如果，则几乎处处存在。此外，若几乎处处为零，则为常数。
