实分析想法寄录

考虑下面的问题：

给定区间上的一个具有正测度的类集合，的补集记为。对于上的特征函数，考虑在上点处的导数，这是否为0？

这一点由于微分定理是显然的，因为测度为正，故在上地有。但是换一个角度来看，这一点或许还没有那么直观。

选定一个，考察小区间，这个区间内部取0或1，如果，那么随着，中取1的部分的（测度）占比趋于零。而在缩小的取值之时，无论怎么缩小，中总是会包含无数个取值为1的闭区间，又怎么证明这些闭区间的测度之和与的比值趋于0呢？这是一个很复杂的问题，因为在附近的行为很怪异。加上类集合的选取本身就多种多样，如果没有微分定理，单纯用极限理论来看待处的微分的话，确实复杂。这也让我体会到了微分定理的深刻性，对于这样棘手的问题会有如此优雅的结论。当时我转念一想，对于集$C^x\in C^f(x)xC^fC^\mathrm{a.e.}\mathrm{Lebesgue}$微分定理深究的兴趣，藉此机会我们从可积函数出发，梳理一下勒贝格积分与微分理论。

积分理论

• 积分的定义

引理 对于支撑在有限测度集合上的有界函数（BF），为任何以为界的简单函数序列，且对有，那么有

1. 存在；
2. 若 ，那么。

这样，定义BF函数的积分为。

而对于非负函数，去掉BF的条件后，其积分定义为，其中。

对于一般的函数，其积分定义为。当是我们说可积。

定理（有界收敛定理） 为一串以为界，支撑在有限测度集合的可测函数序列，且，则可测、有界、支撑在上，且

总结来说就是有界BF函数+几乎处处收敛推得可积+积分值收敛。

定理（法图引理） 为一串非负的可测函数，且，则

这是一个很反直觉的结果，这个结论的证明也相当巧妙。简言之就是选取了，而构造了，这样不仅有，还始终有，这样就得证了。直觉似乎告诉我们几乎处处收敛于，积分也会足够靠近，然而我们最终得到的却是这样一个不等式。trick或许在于的定义。如果是BF函数一切等号都能取到，然而不是BF函数的时候，根据上面的定义才诞生了这个不等式。

推论 是一个非负可测函数，为一串满足的函数列，且，则

相应地单调收敛定理是更弱的推论。一个有用的推论是，无穷非负可测函数项级数的积分可以逐项积分。

可积函数的重要性质

1. 对，存在有限测度集使得

2. **（绝对连续性）**存在使得只要，就有

第一个结论，令，其中是以原点位中心半径为的球。由单调收敛定理即证。第二个结论，我们思路差不多，但是构造的是截断函数，由单调收敛定理仍有。后面将写为，前者由收敛性控制，后者由截断函数的上界控制。

控制收敛定理 为可测函数序列，且，，其中可积，那么

微分理论

为了证明勒贝格微分定理，我们先引入哈代-李特尔伍德极大函数。

定义（哈代-李特尔伍德极大函数） 对于上的可积函数，定义其极大函数：

极大函数具有以下性质：

1. 可测；

2. 几乎处处有限；

3. （弱型不等式）对所有，满足：

此外还有性质如：

• 对有。

• 若对于上的可积函数，不几乎处处为0，那么对某个和所有，有$f^(x)\geq c/|x|^df^(x)$不可积。

(3)的形式比切比雪夫不等式弱。切比雪夫不等式说的是，对于非负可测函数：

这个不等式放缩其实很松。将挪过去，等号左边代表的是高为，宽为大于的部分，这一部分面积显然被包围。(1)很好证明，只需注意到集合是开集；而(2)是(3)的直接推论，下面着手证明(3)。在证明之前还需要证明重要的：

覆盖引理 设是中的有限开球簇，则存在的不相交子集使得

定理的证明是构造性的。我们先选出最大的球，将半径扩大为原有3倍之后变为，所有的与相交的球都会被完全涵盖在之内。去掉这些被完全包含的球，重复这种操作即构造成立。下面证明弱型不等式。

(3)的证明：

要证明。对于每一个，都存在对应的球使得，此即

取定的一个紧子集，选取的有限子覆盖并且选取其覆盖。则有如下不等式成立：

命题得到了证明。下面着手证明勒贝格微分定理。

微分定理 若在上可积，那么对有：

仅需证明对每个，集合

测度为0。由于紧支撑连续函数在中稠密，对于任何，存在紧支撑连续函数使得。对与连续函数，式显然成立。我们可以将写为：

两边同时取上极限并且利用三角不等式得到：

再定义：

则由切比雪夫不等式和弱型估计得到：

显然有包含关系，选取与足够靠近的即证。

remark：对于局部可积函数，上述结论仍然成立。

其他定义及结论：

定义（勒贝格密度点） 是可测集，，定义为的勒贝格密度点，若：

则几乎每个是的勒贝格密度点；几乎每个不是的勒贝格密度点。

定义（勒贝格集） 在上局部可积，则的勒贝格集由所有满足：

的组成。并且的连续点属于勒贝格集。并且有定理：若在上局部可积，则几乎每个点属于勒贝格集。

实分析chap2,3其他结论

可积函数空间

定理 向量空间在它的度量下是完备的。

推论 柯西列存在几乎处处收敛子列。

定理 以下函数簇在中稠密：

• 简单函数（有限测度可测集的特征函数的有限线性组合）

• 阶梯函数（cube的特征函数的有限线性组合）

• 紧支撑连续函数

平移不变性 为可积函数，定义。则

这是紧支撑连续函数在中稠密的推论。

定理

假定在上可积，则：

1. 截面在上可积；
2. 在上可积；

此外，还满足等式：

作为一个应用，有如下的结论：

定理 假定在上非负可测，则对，有：

1. 截面在上可测；
2. 在上可测；
3. 在扩充的意义下，满足等式：

上的可测子集，将定理应用到上，得到如下的：

推论 对，是上的可测子集，且：

关于集合的可测性的若干命题

1. 为上的可测子集，且，则可测。
2. 若，，则。
3. 若，均为可测集，那么。

引理1 是上的可测函数，那么定义在上可测。

引理2 是上的非负函数，且令，则：

• 在上可测当且仅当在上可测。

• 若在上可测，则：

定理 是上的可测函数，则在上可测。

有界变差函数

• 单调有界函数、处处可微且导数有界的函数均为有界变差函数。

• 上的实值函数是有界变差的当且仅当是两个有界的递增函数之差。

• 若函数在上是有界变差的，则几乎处处可微。

引理 若递增且连续，则几乎处处存在，进而可测、非负，且。

李特尔伍德三大原理

第三原理：每个收敛序列接近于一直收敛序列。

定理（） 是定义在有限测度集合上的可测函数序列并且在上几乎处处收敛于。给定，能找到对应的闭集，使得且在上一致收敛于。

第二原理：每个可测函数接近于连续函数。

定理（） 在有限测度集合上可测且取有限值。给定，能找到对应的闭集，使得且在上连续。

绝对连续函数

定义 对于定义在上的实值函数，若对任意，存在使得只要且区间内部不交就有

则称绝对连续(AC)。绝对连续函数具有以下性质：

• AC函数是一致连续且有界变差的；

• 若可积，，则绝对连续，这是积分的绝对连续性保证的。

• 如果，那么对于任意中的零测集，；

• 如果，为中的可测集，那么可测；

• 若满足以下条件，。

  • 如果，则；

  • ；

  • ，

绝对连续函数有着强于有界变差函数的结论：

定理 如果，则几乎处处存在。此外，若几乎处处为零，则为常数。